三個囚犯的故事- 解答篇 - Hsin-I's Blog | 全台民宿旅館情報網
2022年4月20日—動動腦吧!!問題一:首先要先複習一下貝式定理:P(A|D)=P(D|...
還沒有看過問題篇的人,先看問題篇喔!! 動動腦吧!![1][2]
問題一: 首先要先複習一下貝式定理:P(A|D) = P(D|A)P(A) / (P(D|A)P(A) + P(D|B) P(B) + P(D|C) P(C))
A:A被釋放 B:B被釋放 C:C被釋放 D:獄卒說B會被槍決
所以其實可以將問題看成:獄卒說B會被槍決的情況下,A被釋放的機率是多少(即P(A|D)? 假設: (1) A、B、C被釋放的機率相等(題目沒有特別說),所以P(A) = P(B) = P(C) = 1/3。 (2) 獄卒說的是真話並且他說B或C的機率相等,則:
P(D|A) = 1/2,因為A被釋放的情況下,B或C一定都會被槍決,而獄卒在沒有偏好的情況下,說B的機率是1/2。 P(D|B) = 0,因為B被釋放的情況下,獄卒絕對不會說B。 P(D|C) = 1,因為C被釋放的情況下,獄卒一定要說B,他總不能說A吧!
把上述數值代入公式,會得到P(A|D) = 1/3。 所以A自以為被釋放的機率提高,其實是一種錯覺,因為他沒有考慮到自己也有可能被槍決的情況。
問題二: 根據題意,把原先A、B、C被釋放的機率改成:P(A) = 1/4,P(B) = 1/4,P(C) = 1/2。
代入公式後,得到P(A|D) = 1/5。 A被釋放的機率比原先還低!!
其實這類的問題常常被心理學家應用在研究人們"推理"能力的實驗中,其中論證的邏輯如下: 把這類的問題拿給學過貝式定理的大學生做,他們還是會出錯,甚至在告訴他們詳解後,他們仍然覺得不可思議,難以相信在問題一中,A被釋放的機率沒有改變, 或是在問題二中,A被釋放的機率反而下降!! (如果你現在還是覺得難以置信,那恭喜你,你很正常!!)
人不是機器,在思考的過程中有謬誤也是人之所...
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